Genesi spaziale delle trasformazioni piane

N.B. - Per una introduzione intuitiva dell'argomento si consiglia la lettura di questo post.
Le diverse geometrie studiate finora, e cioè la geometria dell'uguaglianza, che si studia in parte alle scuole elementari e in parte alle scuole medie, la geometria della similidudine, che si studia in parte alle scuole medie e in parte alle scuole superiori, e che insieme sono dette anche geometria della congruenza e, infine, la geometria dell'affinità, che si studia alle scuole superiori, sono tutte ricomprese all'interno della geometria proiettiva in quanto quest'ultima ha un minor numero di caratteri invarianti che, detto in parole povere, vuol dire ha meno "regole". Se apparentemente sembrerebbe una geometria più "semplice" delle altre, in realtà è più complessa, ed è per questo che viene trattata nei corsi di studio superiori, dapprima nella scuola secondaria di secondo grado nella forma del disegno di prospettiva e, poi, all'università sia nella forma grafica che in quella analitica.
Come mostrato sinteticamente nelle due figure, le differenze sono dovute alla diversa disposizione reciproca del centro di omologia e dell'asse di omologia che determinano i diversi "caratteri metrici" di esse.

Omologia generale
(fig. 1)
L'omologia si ha:
1)
quando il piano di proiezione, pigreco, e quello su cui si trova la figura, sigma, non sono paralleli tra loro, per cui hanno in comune una retta propria, detta asse di omologia, e
2)
quando la retta che passa per i due centri di prospettività non è parallela al piano di proiezione pigreco, per cui l'incontro di tale retta con quest'ultimo piano fornisce un punto proprio, detto centro di omologia. Di questo caso abbiamo parlato in modo completo al post precedente.

Affinità
(fig. 2)
L'affinità si ha:
1) quando il piano di proiezione, pigreco, e quello su cui si trova la figura, sigma, non sono paralleli tra loro, per cui hanno in comune una retta propria, come nel caso dell'omologia, detta asse di omologia, e
2)
quando la retta che passa per i due centri di prospettività. entrambi propri, è parallela al piano di proiezione pigreco, per cui l'incontro di tale retta con quest'ultimo piano fornisce un punto improprio, che è il centro di omologia, del quale non è possibile disegnare su foglio la posizione, la quale può essere indicata solo come "direzione".
Oltre a questo caso generale, esistono altri due casi da considerare:
3) se i due centri di prospettività sono entrambi impropri, ma le loro direzioni sono complanari, allora essi determinano una retta impropria, e il piano che la contiene, incontrando il piano di proiezione pigreco, determina una retta su di esso (generalmante propria) che dovrebbe fungere da centro di proiezione ma, trattandosi per l'appunto di una retta, quando si esegue la proiezione di punti e di rette di pigreco, fornisce dei piani (tutti appartenenti a pigreco), per cui ai punti e alle rette della figura iniziale corrisponderebbero infiniti elementi omologhi, ed il problema avrebbe infinite soluzioni, mentre abbiamo definito la prospettività come una corrispondenza biunivoca (senza eccezioni);
4)
se i due centri di prospettività sono entrambi impropri (come al punto 3), ma le loro direzioni non sono complanari, non è possibile stabilire nè un punto in comune tra loro, né un piano proprio, ma solo un piano improprio
e, considerando la definizione che ne abbiamo dato in un post precedente, come la superficie di una sfera di raggio infinito, il problema diventa senza soluzione o, meglio, si trasforma in una traslazione perchè le due proiezioni sul piano pigreco ci sono comunque e, nell'esaminarle, ci si accorge che la fattispecie è passata dall'affinità alla traslazione.

Omotetia
(fig. 3)
L'omotetia si ha:
1)
quando il piano di proiezione, pigreco, e quello su cui si trova la figura, sigma, sono paralleli tra loro, per cui non hanno in comune una retta propria e, quindi, l' asse di omologia non può essere indicato sul foglio nemmeno come direzione, e
2)
quando la retta che passa per i due centri di prospettività non è parallela al piano di proiezione pigreco, per cui l'incontro di tale retta con quest'ultimo piano fornisce un punto proprio, detto centro di omologia.
Le due prospettività forniranno figure simili, cioè della stessa forma, ma una più grande e una più piccola. Gli angoli corrispondenti saranno della medesima ampiezza, mentre i lati corrispondenti saranno tra loro proporzionali, ed il fattore di proporzionalità è dato dal rapporto tra le due distanze comprese tra il centro di omologia e i due punti considerati. Tale fattore di proporzionalità sarà identico per tutte le lunghezze della figura.

Traslazione
(fig. 4)
La traslazione si ha:
1) quando il piano di proiezione, pigreco, e quello su cui si trova la figura, sigma, sono paralleli tra loro, per cui non hanno in comune una retta propria e, quindi, l' asse di omologia non può essere indicato sul foglio nemmeno come direzione, e
2) quando la retta che passa per i due centri di prospettività è parallela al piano di proiezione pigreco, per cui l'incontro di tale retta con quest'ultimo piano fornisce un punto improprio, detto centro di omologia. Le due prospettività forniranno figure della stessa forma e della stessa grandezza, e l'una e l'altra verranno ad essere rappresentate sul piano di proiezione pigreco in due posizioni differenti dipendenti dalla posizione spaziale dei due centri (qualora venissero a trovarsi sovrapposte, si parlerebbe di "uguaglianza", che è il caso particolare della traslazione quando lo spontamento è nullo).

Omologia di ribaltamento
(fig. 5)
Pur rientrando nel caso dell'omologia generale, l'omologia di ribaltamento consente costruzioni di grande interesse applicativo.
Nell'ambito dell'omologia generale, essa si caratterizza per il fatto di poter eseguire le costruzioni prospettiche ed assonometriche direttamente su un unico foglio da disegno, senza dover ricorrere a nessuna figura preparatoria.
Dei due centri di prospettività, uno è proprio, come nell'omologia generale, mentre l'altro è improprio ed ha direzione ortogonale al piano bisettore beta di uno dei due diedri formati dal piano di proiezione pigreco e dal piano sigma sul quale si trova la figura. Questo consente di trovare agevolmente il centro di omologia su pigreco.
Piero Della Francesca (1416-1492) utilizzò questa omologia per dettare il suo metodo prospettico (figure), ancor prima che Poncelet (1788-1867) estrinsecasse a pieno la teoria della Geometria proiettiva.

Per una lettura veramente affascinante, si consiglia, per questo post, la lettura del libro di Piergiorgio Odifreddi Una via di fuga, Mondadori 2011. Vedi anche la presentazione di Odifreddi su YouTube. E la presentazione del suo libro sul suo sito.

L'omologia

L'omologia piana
L'omologia piana è la relazione che insorge tra due figure su un piano (piano di proiezione) quando esse sono il risultato di due prospettività di un medesimo piano (diverso dal precedente) eseguite da due centri di prospettività differenti.
Poichè le due prospettività sono eseguite con operazioni di proiezione e sezione, l'omologia è una proiettività, cioè una trasformazione del piano che trasforma rette in rette e conserva l'appartenenza (se tre punti si trovavano su una retta, dopo la trasformazione essi si troveranno ugualmente su una retta e, precisamente, sulla retta trasformata di quella iniziale).
In quanto proiettività, inoltre, l'omologia conserva il birapporto di quattro punti o di quattro rette, e questo ne costituisce l'invariante.

L'omologia è determinata quando se ne conoscono il centro, l'asse e una coppia di elementi omologhi (o due punti, oppure due rette) (fig. 1).
Il centro è costituito dal punto di intersezione della retta passante per i due centri di prospettività con il piano di proiezione.
L'asse è costituito dalla retta di intersezione dei due piani, quello di proiezione e quello sul quale si trova la figura.

I due centri di prospettività possono essere disposti in qualsiasi modo rispetto ai due piani, purchè non appartengano entrambi all'asse (vedi la fig. 2 e la fig. 3, relative alle due prospettività eseguite separatamente e la fig. 4 che è l'assemblaggio delle precedenti due; per comprendere meglio le operazioni eseguite si riporta anche la proiezione con il metodo di Monge in fig. 5; mentre in fig. 6 si riporta un dettaglio della precedente che esamina la relazione omologica direttamente sul piano di proiezione pigreco visto di fronte).

L'omologia generale viene a prendere diverse configurazioni metriche (1) a seconda della posizione reciproca dei due elementi caratterizzanti dal punto di vista proiettivo, e cioè: 1) la retta comune ai due piani pigreco di proiezione e sigma sul quale si trova la figura (detta asse di omologia); 2) la retta congiungente i due centri di prospettività (che determina sul piano pigreco il centro di omologia). (nelle figure precedenti sono indicati, rispettivamente, con pigreco, con sigma e con C1C2).
Le diverse caratterizzazioni sono in totale quattro: 1) l'omologia generale (o proiettività; esposta sopra); 2) l'affinità (o omologia affine); 3) l'omotetia (o similitudine); 4) l'uguaglianza (o traslazione).

Le quattro caratterizzazioni godono di diverse proprietà, e si caratterizzano per un numero via via crescente di "invarianti geometriche" come descritto sotto il titolo "Le caratteristiche delle figure e le loro trasformazioni nel piano"nel post sulle trasformazioni geometriche, e in questo post sulla generazione proiettiva delle geometrie.

Esistono, poi, altre due forme di omologia generale, e cioè "l'omologia di ribaltamento" (di cui parleremo in un post successivo) e "omologia speciale", nella quale la retta che passa per i due centri di prospettività incontra il piano di proiezione pigreco sull'asse di omologia (anche questa forma rientra nel caso dell'omologia generale, e cioè: centro proprio e asse proprio; e valgono le stesse regole dell'omologia).

L'omologia nello spazio
Per approfondire l'omologia nello spazio, vedi:
Ugo Saccardi, Applicazioni della geometria descrittiva, IV edizione, LEF 1977, pag. 246;
Jean Victor Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, Vol. 1, Paris 1822, pag. 357;
Ferdinando Aschieri, Geometria proiettiva dello spazio, Hoepli 1895, pag. 66.

(1) L'espressione configurazioni metriche è intesa nel senso degli invarianti nelle trasformazioni, cioè la conservazione delle proprietà relative agli angoli, alle lunghezze, al parallelismo, ecc..

Teoremi di Stevin sulla prospettiva

Il 1° teorema di Simon Stevin (1548-1620) viene applicato alla prospettività tra due piani. Dato un piano di proiezione pigreco (detto anche quadro) sul quale viene proiettata la figura contenuta nel piano sigma (piano di terra) da un centro di prospettività C, esso afferma: Se il quadro ruota attorno alla linea di terra e se lo spettatore ruota nello stesso verso attorno al proprio piede conservandosi sempre parallelo al quadro, la prospettiva non verrà turbata e sussisterà anche quando il quadro risulterà ribaltato sul piano orizzontale.

Vedi l'animazione cliccando sulla bacchetta magica.

Il 2° teorema di Stevin viene applicato al ribaltamento sul piano di terra di 3 piani: a) quello su cui sta l'osservatore, b) il piano di proiezione (detto vitreo), c) quello su cui sta la figura da proiettare. 
Ruotati il vitreo attorno alla propria base come asse, la linea dell’osservatore attorno al piede e quella condotta dal punto dato (elevato e da disegnare) al pavimento in modo che siano sempre parallele alla retta nel vitreo perpendicolare alla base di questo: l’immagine del punto da disegnare, emergente al disopra del pavimento, appare nel vitreo sempre al medesimo posto
Vedi l'animazione.

Vedi la figura originale (in alto a destra) tratta da qui: Simon Stevin, Wisconstighe gedachtenissen, Deel 3: Van de deursichtighe, Ed. Ian Bouvvensz., Leiden 1605p. 17, e alla p. 18 nell'edizione del 2010.
La stessa figura si trova anche in: Simon Stevin, Hypomnemata mathematica, Tomus tertius De Optica, Liber Primus De Sciagraphia,  Ed. Ex Officina Joannis Patii, Lugduni Batavorum, 1608, p. 17 (p. 1106 del pdf).
Idem anche in: Simon Stevin, Œuvres mathématiques, Cinquiesme volume, De L'Optique, 1634, p. 526 (p.756 del pdf).
Dal punto di vista storico, il metodo è stato rivalutato da Michel Chasles, in Apercu historique sur le developpement des méthodes en géométrie, 1837, a pag. 346. e lo colloca come precursore di S'Gravesande e di Taylor che vissero un secolo più tardi.
Inoltre, il metodo di Stevin è stato descritto in dettaglio in Poudra, N.G., Histoire de la perspective ancienne et moderne, 1864, bnf, alle pagine 213-222. 

In questo ribaltamento del quadro, dell'occhio e della figura sul piano orizzontale possiamo collocare le lontane origini dell'omologia piana (la prima apparizione di figure omologiche, come dice Poudra a pag. 215) [vedi anche scheda di R. Sinisgalli, 1978, in basso].
In effetti la costruzione (originale a destra, tratto dalle Œuvres a pag. 544 (1), pag. 786 del pdf) rivela implicitamente le due proprietà dell'omologia, e cioè: 1) rette omologhe si incontrano sull'asse di omologia (nella figura, Linea di terra); 2) punti omologhi sono allineati con il centro di omologia (nella figura, (V) cioè il punto di vista ribaltato sul piano si proiezione).
Nell'ultima figura sono state verificate le due proprietà dell'omologia ed è stato tracciato il cerchio di distanza che rivela come il rettangolo prospettico (in rosso) si trovi in buona parte fuori di un campo visivo con cono ottico di 90°.
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(1) - I disegni sono eseguiti molto male, come afferma Poudra a pag. 215 dopo circa due secoli e mezzo dalla pubblicazione. Se pensiamo che, ad oggi, l'opera originale ha circa 4 secoli, e che può essere stata conservata in condizioni termoigrometriche molto diverse nel corso di questo tempo, possiamo capire che la scansione dell'originale possa non coincidere esattamente con le costruzioni eseguire su di essa.

Il teorema di Desargues

In due triangoli non aventi alcun elemento in comune (vertici o lati), se le tre rette congiungenti le tre coppie di vertici corrispondenti si incontrano in un punto, allora le tre coppie di rette contenenti i lati corrispondenti si incontrano su una retta (e, per il principio di dualità, viceversa).
Il teorema vale anche se le tre rette congiungenti le tre coppie di vertici corrispondenti sono parallele tra loro, ovvero si incontrano in un punto improprio.
Il teorema è stato formulato da Girard Desargues (1591-1661) nel 1639.
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Vedi: Castelnuovo Guido, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, pag. 23-30, con esercizi.

La prospettività

Proprietà proiettive delle figure
La geometria proiettiva studia le proprietà proiettive delle figure (sia nel piano che nello spazio), cioè quelle proprietà che si conservano quando la figura viene sottoposta ad operazioni di proiezione e sezione.
Nell'ambito della proiettività, la prospettività è una corrispondenza biunivoca tra due insiemi di elementi geometrici, consistente nel fatto che da un elemento di un insieme si può determinare uno ed un solo elemento dell'altro insieme, e viceversa, cioè non vi sono elementi di un insieme che non abbia il corrispondente nell'altro insieme, e ciò è dovuto al fatto che nella geometria proiettiva sono considerati, come peculiari di questa geometria, anche gli enti geometrici all'infinito (fig. 1 nel piano e fig. 5 nello spazio).

Nel piano
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1) Prospettività di centro C tra i punti di una retta m e le rette del fascio per C1 (esterno a m). Si tratta di una prospettività tra forme geometriche fondamentali di 1^ specie. Le due forme sono: il fascio di rette e la retta punteggiata (fig. 2).
2) Prospettività di centro C1 tra i punti delle rette n ed m (con C1 esterno ad esse). E' una prospettività tra due forme geometriche di 1^ specie le cui forme sono le due rette punteggiate (fig. 3). Il punto L è un punto doppio in quanto appartenente contemporaneamente alla retta m ed alla retta n.
3) Prospettività di asse s tra le rette di due fasci di rette con centri, rispettivamente, in C1 e C2 (esterni ad s). E' una prospettività tra due forme geometriche di 1^ specie le cui forme sono i due fasci di rette (fig. 4). I punti della retta n, in quanto contenente i centri dei fasci C1 e C2, è una retta doppia, infatti, proiettando il punto N da C1 si ottiene la stessa retta che proiettandolo da C2.
Vedi anche l'animazione (cliccando la bacchetta sulla barra rosa) relativa al teorema di Stevin (1548-1620).

Nello spazio

1) Prospettività tra la stella di rette con centro in C1 e i punti del piano alfa (esterno a C1). E' una prospettività tra forme di 2^ specie, e cioè la stella di rette e il piano punteggiato (fig. 6).
2) Prospettività tra la stella di piani con centro in C1 e le rette del piano alfa (esterno a C1). Si tratta di una prospettività tra forme di 2^ specie cioè tra la stella di piani e il piano rigato (fig. 7).
3) Prospettività di asse s tra le rette di due fasci di rette con centri, rispettivamente, in C1 e C2 (i piani su cui giacciono i due fasci hanno per intersezione l'asse s, che non deve contenere né C1C2). E' una prospettività tra due forme di 1^ specie, le cui forme sono i due fasci di rette (fig. 8).
La retta congiungente i due centri C1 e C2 può essere vista come l'asse di un fascio di piani, i cui piani (ad esempio: alfa, beta, ecc.) incontrano i piani sigma e pigreco (sui quali giacciono i due fasci di rette) e danno luogo a ciascuna coppia di rette corrispondenti.
4) Prospettività tra un fascio di piani di asse s e una retta r (sghemba riapetto ad s). E' una prospettività tra due forme di specie diversa che sono: il fascio di piani, che è di 2^ specie, e la retta punteggiata, che è di 1^ specie (fig. 9).
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(*) Per una migliore visualizzazione dei lettori dediti alle arti visive, si preferisce esporre le prospettività a seconda che siano piane o spaziali, diversamente dalla maggior parte dei testi di geometria proiettiva che le espongono per appartenenza alla specie.
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Le operazioni geometriche fondamentali

Le operazioni geometriche fondamentali della geometria proiettiva sono due: la proiezione e la sezione.

La proiezione
a) Proietare un punto da un altro punto significa costruire la retta che li contiene entrambi.
b) Proiettare una retta da un punto (centro di proiezione) significa costruire un fascio di rette, le quali giaceranno su un piano costituito dal centro di proiezione (centro del fascio) e dalla retta data.
c) Proiettare un piano da un punto (centro di proiezione) significa costruire la stella delle rette che congiungono il punto con tutti i punti del piano.

La proiezione può avvenire sia da un punto proprio, e si chiama proiezione conica o centrale, sia da uno improprio, e si chiama proiezione cilindrica o parallela; in quest'ultimo caso avremo la costruzione di rette parallele alla direzione stabilita dal punto improprio. In pratica, si osserva che avremo una proiezione parallela quando la distanza tra l'occhio dell'osservatore e l'oggetto è molto grande rispetto alle dimensioni dell'oggetto stesso, per cui non siamo in grado di apprezzare se le rette proiettanti siano parallele o meno.
Ad esempio, l'assonometria è una proiezione da un punto all'infinito per cui le rette proiettanti sono parallele ad una direzione prefissata; l'assonometria conserva il parallelismo, nel senso che i segmenti paralleli della figura iniziale F risultaranno paralleli anche nella figura proiettata F'. Un altro esempio di proiezione parallela è costituito dalle ombre prodotte su un piano da una sorgente luminosa che si trova all'infinito, come il sole, e che investe un oggetto.
Al contrario, la prospettiva è una proiezione da un punto proprio (l'occhio dell'osservatore, centro di proiezione) per cui le rette e i piani proiettanti i punti e i segmenti della figura F passano tutte per un punto; la prospettiva non conserva il parallelismo. Un altro esempio di proiezione conica è dato dalle ombre prodotte su un piano da una sorgente a distanza propria, come un lampione stradale o una lampada all'interno di una stanza, e che investe un oggetto.

La sezione
a) Nel piano, sezionare una retta con un'altra retta significa individuare il loro punto comune.
b) Nello spazio, sezionare una retta con un piano significa individuare il loro punto comune, mentre sezionare un piano con un altro piano significa individuare la loro retta comune.

La proiezione e la sezione, congiuntamente
a) Proiettate un punto A dal punto P su un piano alfa, non passante per P, significa prima costruire la retta r che passa per A e P e poi sezionare la retta r con il piano alfa individuando, così, il loro punto comune P'.
b) Proiettare una retta r dal punto P sopra un piano alfa, non passante per P, significa prima costruire il piano beta che passa per P ed r, poi sezionare tale piano con il piano alfa individuando, così, la loro retta comune r'.
c) Proiettate un punto A da una retta r su una retta s, sghemba rispetto ad r, significa prima costruire il piano alfa, passante per A ed r, e poi sezionare questo con la r individuando, così, il loro punto comune A'.

Osservazioni1) Se la figura F da proiettare è costituita da più punti e più rette, occorre compiere una o più operazioni di proiezione e sezione per ottenerne la proiezione F' (detta anche immagine) su un piano.
2) Le due operazioni di proiezione e sezione si corrispondono in modo duale, sia nel piano che nello spazio.
3) Le operazioni di proiezione e sezione conservano il birapporto, cioè la figura F (ad esempio, una retta con 4 punti A, B, C e D) prima della proiezione o della sezione e la figura F' dopo tali operazioni hanno il medesimo birapporto.

Per una trattazione più immaginativa e intuitiva vedi questo post che è una riflessione di base su quanto detto sopra.
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Le forme geometriche fondamentali

Una forma geometrica fondamentale è costituita da un sostegno e da un elemento generatore.
Le forme geometriche fondamentali sono dodici e si dividono in quattro specie, la cui distinzione è basata sul numero di coordinate proiettive necessarie a descriverle.
Attribuendo, qui, alla parola "spazio" il senso di dimensione spaziale, le forme di prima specie sono spazi ad una dimensione (cioè occorre una sola coordinata per descriverli), quelle di seconda specie sono spazi a due dimensioni, ecc..
Le forme geometriche fondamentali sono state sistematizzate nel 1832 dal matematico svizzero J. Steiner (1796-1863).

Classificazione in base alla specie
A - Forme geometriche fondamentali di prima specie
A1 - La retta punteggiata, cioè l'insieme di tutti i punti di una retta: il sostegno è la retta, l'elemento generatore è il punto.
A2 - Il fascio di rette, cioè l'insieme delle rette che su un piano passano per un punto: il sostegmo è costituito dall'insieme del piano e del punto, l'emento generatore è la retta.
A3 - Il fascio di piani, cioè l'insieme di tutti i piani che passano per una retta: il sostegno è la retta, l'elemento generatore è il piano.
B - Forme geometriche fondamentali di seconda specie
B1 - Il piano punteggiato, cioè l'insieme di tutti i punti di un piano: il sostegno è il piano, l'elemento generatore è il punto:
B2 - Il piano rigato, cioè l'insieme di tutte le rette di un piano: il sostegno è il piano, l'elemento generatore è la retta:
B3 - La stella di rette, cioè l'insieme di tutte le rette che passano per un punto dello spazio: il sostegno è un punto dello spazio, l'elemento generatore è la retta.
B4 - La stella di piani, cioè l'insieme di tutti i piani che passano per un punto dello spazio: il sostegno è un punto dello spazio, l'elemento generatore è il piano.
C - Forme geometriche fondamentali di terza specie
C1 - Lo spazio di punti, cioè l'insieme di tutti i punti dello spazio: lo spazio è il sostegno, l'elemento generatore è il punto.
C2 - Lo spazio di piani, cioè l'insieme di tutti i piani dello spazio: il sostegno è lo spazio, l'elemento generatore è il piano.
D - Forme geometriche fondamentali di quarta specie
D1 - Lo spazio di rette, cioè l'insieme di tutte le rette dello spazio: il sostegno è lo spazio, l'elemento generatore è la retta (1).
D2 - La retta impropria, cioè l'insieme di tutti i punti impropri delle rette di un piano: il sostegno è la retta impropria e l'elemento generatore è il punto improprio (2).
D3 - Il piano improprio, cioè l'insieme dei punti impropri di tutte le rette dello spazio e delle rette improprie di tutti i piani dello spazio (2).

Classificazione in base all'elemento generatore (3)
Punto
A1 - Retta punteggiata.
B1 - Piano punteggiato.
C1 - Spazio punteggiato.
Retta
A2 - Fascio di rette.
B2 - Piano di rette.
B3 - Stella di rette.
D1 - Spazio di rette.
Piano
A3 - Fascio di piani.
B4 - Stella di piani.
C2 - Spazio di piani.

Classificazione in base al sostegno
Punto
A2 - Fascio di rette (su un piano).
B3 - Stella di rette.
B4 - Stella di piani.
Retta
A1 -Retta punteggiata.
A3 - Fascio di piani.
Piano
B1 - Piano di punti.
A2 - Fascio di rette (sul piano).
B2 - Piano rigato.
Spazio
C1 - Spazio di punti.
C2 - Spazio di piani.
D1 - Spazio di rette.

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Le forme geometriche fondamentali di seconda specie contengono infinite forme fondamentali di prima specie, e altrettanto avviene di quelle di terza specie rispetto a quelle di seconda specie.
Per quanto riguarda lo spazio di rette, che è trattato sempre molto brevemente e solo in alcuni testi, occorre osservare, da un punto di vista esclusivamente formale, che, in base alla figura, presenta forti analogie con il fascio di rette, per cui appare lecito considerarlo duale di se stesso.
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(1). Confronta: 
-Aschieri, Geometria projettiva del piano e della stella, pag. 12;
-Bertini Eugenio, Complementi di geometria projettiva, Zanichelli 1910 e 1927, pag.(?); 
-Manara Carlo Felice, Corso di geometria proiettiva, Ancona 17-20 maggio 1995, appunti manoscritti del 19 maggio.
-Campedelli Luigi, Lezioni di geometria, Vol 2° Parte I I metodi di rappresentazione della geometria descrittiva, Cedam, Padova, 1972, pag. 88;
-Battaglini Giuseppe, Teoria elementare delle forme geometriche, Parte I, pag. 1, in Giornale di matematiche, Vol. 1, 1863, pag. 1-6, 97-109, 161-169, 227-239, .
-D'Ovidio Enrico, Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali, 1885, pag. 169.
(2) Cfr.: C. G. C. V. Staudt (immagini), Geometria di posizione, § 61 a pag. 23 (traduzione di M. Pieri, con introduzione di C. Segre, Torino 1889; originale: Die geometrie der lage, Nurnberg 1847).
(3). Cfr.: Castelnuovo, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, pag. 3, nota 1, nella quale riporta: "Lo spazio rigato, o insieme di tutte le rette dello spazio, non viene considerato d'ordinario come forma fondamentale".
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I gruppi di simmetria e il loro impiego

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Gruppi di simmetria

La simmetria fu indagata da H. Weyl (1885-1955) e da H. Coxeter (1907-2003).
La simmetria si distingue in simmetria centrale e in simmetria assiale.
La prima è determinata da rotazione intorno a un centro fisso, mentre la seconda intorno a due centri fissi, ovvero alla retta che li contiene.
Mentre la prima è un'operazione eseguita nel piano, la seconda avviene uscendo dal piano e cambia l'ordinamento dei punti.

Nella simmetria centrale si distingue la simmetria di rotazione, che avviene intorno ad un punto proprio del piano, e la simmetria di traslazione che avviene intorno ad un punto improprio (in questo caso il movimento avviene ortogonalmente alla retta che congiunge il centro di rotazione improprio e il punto del piano che stiamo considerando).
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Appunti di lavoro
Definizione generale di Simmetria, Asimmetria, Antisimmetria.
Broggi
March p.56
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Nel frattempo, potete incuriosirvi sulla vita di questo "gatto" con ambizioni matematiche visitando Popinga, Philippe Geluck, MaddMaths!, e Images des Maths.
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Potreste anche cominciare a sperimentare la simmetria con gli specchi, come fa Il piccolo Freiedrich (blog di Cristina Sperlari, una coraggiosa maestra che opera con i bambini delle scuole elementari), e scoprirete le "innate" sensibilità che ognuno possiede fin dalla più tenera età, anche se dimenticate poi in età adulta.
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Mentre qui potrete ricercare gli innumerevoli e variegati impieghi della simmetria fatti da Frank Lloyd Wright nell'architettura, ottenendo di volta in volta esempi magistrali e ancora insuperati, nell'insieme, nella storia architettonica del Novecento. Vi si trovano disegni e foto in alta definizione delle case disegnate da Wright.
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Qui, inoltre, potrete trovare una trattazione sistematica, svolta in modo elementare, sull'argomento.

Gruppi e trasformazioni geometriche

Riassumendo (dal post precedente):
Un gruppo G è un insieme U di elementi u con, al suo interno, una operazione binaria r, che soddisfi gli assiomi dell'associatività, dell'identità e dell'inverso.
Se il gruppo gode anche della proprietà commutativa si dice che è un gruppo abeliano.
Se l'operazione binaria tra due elementi fornisce un terzo elemento ancora appartenente al gruppo, tale gruppo si dice gruppo chiuso; in caso contrario si dice gruppo aperto, oppure sottogruppo di un gruppo più ampio.

Osservazione - Nell'esporre la teoria dei gruppi al post precedente ci siamo serviti di esempi applicati al campo dell'aritmetica.
Ora prenderemo esempi dal campo delle trasformazioni geometriche nel piano per verificare tale teoria: in particolare, ci limiteremo alle isometrie e, anziché usare la suggestiva immagine di un cellulare, come fatto in precedenza, useremo un semplice punto, senz'altro più astratto, ma anche più idoneo a mettere a fuoco i problemi, nella certezza che ciò che accade ad un punto accade anche a tutti gli altri punti del piano.


Consideriamo la "traslazione nel piano" e verifichiamo se è un gruppo
1) L'insieme U è costituito dal piano alfa e gli elementi u sono i punti P di esso;
2) L'operazione binaria r è costituita da "traslare di una certa lunghezza un qualsiasi punto P lungo una retta che ha una certa direzione", in modo che dopo la prima traslazione, che indicheremo con t', si trovi nella posizione P', e dopo una seconda traslazione, che indicheremo con t", si trovi nella posizione P".

3) Verifichiamo l'assioma dell'associatività. In simboli: P r [P' r P"] = [P r P'] r P".
Applicando la trasformazione t' al punto P, otterrò il punto P' dal quale, applicando la trasformazione t", otterrò il punto P". Se volessi tornare al punto di partenza P sarei obbligato ad eseguire una terza trasformazione -t'" (considerare i versi di percorrenza della figura). Esaminiamo le operazioni eseguite: t' + t" = t'".
Ora, esaminiamo se due diverse associazioni producono lo stesso risultato, cioè se: t' + [t" + t'"] è equivalente a [t' + t"] + t'".
Con la prima associazione, partendo da P e applicando t' sono arrivato a P', poi applicando t" + [-t'"] e, quindi, passando per P" sono tornato a P.
Con la seconda associazione, partendo da P e applicando [t' + t"] sono arrivato a P", poi applicando -t'" sono tornato a P.
Si può, pertanto, concludere che le due associazioni producono lo stesso risultato (facendo tornare in entrambi i casi, dopo le trasformazioni, il punto P nella posizione originaria) e quindi che la proprietà associativa è verificata.

4) Verifichiamo l'assioma dell'identità. In simboli: P r I = P.
Se applichiamo al punto P l'operazione r costituita da "traslazione t' di lunghezza =0" possiamo constatare che il punto P, poichè non subisce spostamenti, rimane esattamente dov'è e che, quindi, l'elemento identità esiste ed è rappresentato da una "traslazione di lunghezza =0", infatti P r 0 = P.

5) Verifichiamo l'assioma dell'inverso. In simboli: t r inv.t = inv.t r t = I.
Se mediante la traslazione t' applicata al punto P siamo giunti al punto P', allora l'operazione inversa, inv.t', è quella che, venendo applicata al punto P', consente di ritornare al punto iniziale P.
Nella trasformazione "traslare di una lunghezza t un qualsiasi punto P lungo una retta che ha una certa direzione" (come definita all'inizio del paragrafo) possiamo constatare che esiste la possibilità di tornare indietro nel punto di partenza e che, quindi, esiste l'elemento inverso ed è rappresentato da "traslare di una lunghezza -t' il punto P' lungo la stessa retta", e lo indichiamo con inv.t'. Questa operazione conferma che l'elemento identità I esiste, cioè il punto P di partenza.

6) Conclusioni temporanee. Avendo verificato che la "traslazione nel piano" soddisfa gli assiomi dell'associatività, dell'identità e dell'inverso possiamo affermare che è un gruppo.

7) Esaminiamo, ora, se tale gruppo è anche commutativo. In simboli: t' + t" = t" + t'.
Poiché scambiando l'ordine delle operazioni si ha il medesimo risultato, la traslazione è un gruppo commutativo.

8) Infine, esaminiamo se il gruppo è chiuso. Se P e P' appartengono ad alfa, allora anche P" deve appartenere ad alfa. Non c'è dubbio che la traslazione è un gruppo chiuso.

9) Conclusioni finali. La trasformazione "traslazione nel piano" è un gruppo abeliano chiuso.

Consideriamo la "rotazione nel piano" e verifichiamo se è un gruppo.
1) L'insieme U è costituito, come per la traslazione, dal piano alfa e gli elementi u sono i punti P di esso.
2) L'operazione binaria r è costituita da "ruotare di un certo angolo un qualsiasi punto P intorno ad un centro C", in modo che dopo la prima rotazione, che indicheremo con t', si trovi nella posizione P', e dopo una seconda rotazione, che indicheremo con t", si trovi nella posizione P".

3) Verifichiamo l'assioma dell'associatività. In simboli: P r [P' r P"] = [P r P'] r P".
Applicando la trasformazione t' al punto P, otterrò il punto P' dal quale, applicando la trasformazione t", otterrò il punto P". Se volessi tornare al punto di partenza P sarei obbligato ad eseguire la trasformazione -t'". Considerando i versi di percorrenza, esaminiamo le operazioni eseguite: t' + t" = t'".
Ora, esaminiamo se due diverse associazioni producono lo stesso risultato, cioè se: t' + [t" + t'"] è equivalente a [t' + t"] + t'".
Con la prima associazione, partendo da P e applicando t' sono arrivato a P', poi applicando t" + [- t'"] e, quindi, passando per P" sono tornato a P.
Con la seconda associazione, partendo da P e applicando [t' + t"] sono arrivato a P", poi applicando -t'" sono tornato a P.
Si può, pertanto, concludere che le due associazioni producono lo stesso risultato (facendo tornare in entrambi i casi, dopo le trasformazioni, il punto P nella posizione originaria) e quindi che la proprietà associativa è verificata.


4) Verifichiamo l'assioma dell'identità. In simboli: P r I = P.
Se applichiamo al punto P l'operazione r costituita da "ruotare di un angolo =0" possiamo constatare che il punto P, poichè non subisce movimenti, rimane esattamente d0v'è e che, quindi, l'elemento identità esiste ed è rappresentato da una "rotazione di angolo =0", infatti P r 0 = P.

5) Verifichiamo l'assioma dell'inverso. In simboli: t r inv.t = inv.t r t = I.
Se mediante la rotazione t' applicata al punto P siamo giunti al punto P', allora l'operazione inversa, inv.t', è quella che, venendo applicata al punto P', consente di ritornare al punto iniziale P.
Nella trasformazione "ruotare di un angolo t' un qualsiasi punto P intorno al centro C" possiamo constatare che esiste la possibilità di tornare indietro e che, quindi, esiste l'elemento inverso ed è rappresentato da "ruotare di un angolo -t' il punto P' intorno allo stesso centro", e lo indichiamo con inv.t'. Questa operazione fornisce il punto P di partenza, cioè l'identità I.


6) Conclusioni temporanee. Avendo verificato che la "traslazione nel piano" soddisfa gli assiomi dell'associatività, dell'identità e dell'inverso possiamo affermare che è un gruppo.

7) Esaminiamo, ora, se tale gruppo è anche commutativo. In simboli: t' + t" = t" + t'.
Poiché scambiando l'ordine delle operazioni si ha il medesimo risultato, la rotazione è un gruppo commutativo.


8) Infine, esaminiamo se il gruppo è chiuso. Se P e P' appartengono ad alfa, allora anche P" deve appartenere ad alfa. Non c'è dubbio che la traslazione è un gruppo chiuso.

9) Conclusioni finali. La trasformazione "traslazione nel piano" è un gruppo abeliano chiuso.

Si potrebbero esaminare altri gruppi, come ad esempio la riflessione nel piano, la rototraslazione o due rotazioni ciascuna con un diverso centro, con il medesimo metodo e aiutandoci con una figura.
In generale è possibile che il gruppo non sia commutativo, oppure che il risultato della trasformazione, in alcune situazioni, non appartenza al gruppo: in quest'ultimo caso, trattandosi di un gruppo aperto, si dirà che esso è un sottogruppo di un gruppo più ampio.
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Pro memoria
March p.56
vedi anche Paolo Bonavoglia
per le simmetrie Corrado Brogi
gruppi di trasformazioni Grossman
vedi anche tassellatura in wiki
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Teoria dei gruppi (principi)



La teoria dei gruppi è stata elaborata nell'arco di oltre un secolo ad iniziare dai primi studi pionieristici del 1771 ad opera del matematico italiano J.L. Lagrange (1736-1813) (all'anagrafe: Lagrangia Giuseppe Lodovico) per proseguire con i lavori del matematico norvegese N.H. Abel (1802-1829) e del matematico francese A.L. Cauchy (1789-1857).
Il termine "gruppo", invece, fu introdotto solo nel 1832 dal giovane matematico francese E. Galois (1811-1832) (link al film "Non ho tempo" sugli ultimi anni della sua avventirosa vita,; altro link all' Archivio) che segnò un importante punto di arrivo per la teoria, sul quale si innestarono gli approfondimenti e le precisazioni di altri e, in special modo, nel 1854 del matematico inglese A. Cayley (1821-1895), al quale si deve anche la teoria delle matrici.
La teoria dei gruppi fu ulteriormente indagata nel corso del '900 dal matematico inglese H.S. MacDonald Coxeter (1907-2003), il quale fu l'ispiratore di alcune opere di M.C. Escher (1898-1972) e di alcune forme di R. Buckminster Fuller (1895-1983).

In questo post introduttivo prenderemo spunto dalle operazioni elementari dell'aritmetica, in quanto nei precedenti corsi di studio l'argomento viene trattato in modo appropriato, mentre nei successivi post tratteremo in genere operazioni diverse da quelle aritmetiche e, in principal modo, tratteremo quelle specifiche operazioni che già conosciamo e che sono le trasformazioni geometriche.

Convenzione - Nel seguito, quando si parlerà di operazione generica in un gruppo la si indicherà con il simbolo qui espresso tra parentesi (r), mentre se l'operazione riguarda una delle operazioni elementari dell'aritmetica la si indicherà con i noti simboli (+), (-), (x) e (:) oppure (/).

Gruppi
Un gruppo è definito come un insieme di elementi ed una sola determinata operazione che è possibile eseguire tra due di quegli elementi. Quella operazione costituisce la legge di composizione (detta anche di trasformazione, o di applicazione) degli elementi (o tra gli elementi) dell'insieme.
Ad esempio: l'insieme dei numeri naturali e l'operazione di addizione costituiscono il gruppo "somma tra numeri naturali"; se al posto di numeri naturali sostiuisco numeri razionali, avrò un diverso gruppo denominato "somma tra numeri razionali"; se al posto di addizione sostituisco moltiplicazione avrò un altro gruppo ancora, denominato "moltiplicazione di numeri naturali".

Il risultato dell'operazione, in ogni caso, deve essere un elemento appartenente all'insieme di cui era costituito il gruppo.
Ad esempio: per il gruppo "somma di numeri naturali" posso sommare 3 e 4, e come risultato avrò un unico elemento che vi corrisponde, e cioè 3 + 4 = 7 che è anch'esso un elemento dell'insieme dei numeri naturali; così per il gruppo "moltiplicazione di numeri naturali" posso moltiplicare 5 con 8, e come risultato avrò un unico elemento, e cioè: 5 x 8 = 40.
Naturalmente, posso assoggettare all'operazione anche due elementi non distinti, e cioè due elementi identici (es.: 4 + 4 = 8).

Definizione: un gruppo è una operazione binaria in un insieme (la parola "binaria" si riferisce al fatto che avviene tra due elementi dell'insieme).

Sottogruppi
In un gruppo vi possono essere dei sottogruppi, all'interno dei quali l'operazione può fornire come unico risultato ancora un elemento del sottogruppo, oppure può fornire un elemento che, pur non appartenendo al sottogruppo, appartiene comunque al gruppo.

Ad esempio: il gruppo "somma di numeri pari" (considerato come sottogruppo del più ampio gruppo "somma di numeri naturali") è un gruppo, in quanto sommando due numeri pari qualsiasi si ottiene un elemento che appartiene ancora al gruppo (es.: 4 + 8 = 12).
In questo caso, si dice che il gruppo "somma di numeri pari" è un sottogruppo chiuso del gruppo "somma di numeri naturali", in quanto l'operazione non fa uscire il risultato dal gruppo stesso.

Al contrario, il gruppo "somma di numeri dispari" non è un gruppo, in quanto vi sono casi in cui sommando due elementi presi a caso si può ottenere per risultato un elemento che non appartiene all'insieme "numeri dispari" (es.: 5 + 7 = 12).
In quest'ultimo caso, si dirà che il gruppo "somma di numeri dispari", pur non essendo un gruppo, è un sottogruppo aperto in un gruppo più ampio denominato "somma di numeri naturali", in quanto l'operazione, in alcuni casi, fornisce per risultato un elemento che è fuori dal sottogruppo stesso.

Proprietà commutativa
Si dice che un gruppo gode della proprietà commutativa quando scambiando l'ordine dei due elementi da assoggettare all'operazione si ottiene lo stesso risultato.
Un gruppo commutativo è detto gruppo abeliano in onore del matematico norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829).

Ad esempio: il gruppo "somma dei numeri naturali" è commutativo (es.: 8 + 5 = 5 + 8), come pure il gruppo "moltiplicazione di numeri reali" (es.: 3 x 5 = 5 x 3), mentre il gruppo "differenza di numeri naturali" è non commutativo (es.: 8 - 5 fornisce un risultato diverso da 5 - 8).

Assioma dell'associatività
Si dice che un gruppo gode della proprietà associativa se, presi tre elementi dell'insieme, associandoli in un certo modo e assoggettandoli due volte all'operazione r, fornisce lo stesso risultato anche qualora siano associati diversamente.

Ad esempio: nel gruppo "moltiplicazione di numeri reali" si ha: a x (b x c) = (a x b) x c, infatti p. es. 5 x (6 x 7) = 210, come (5 x 6) x 7 = 210, per cui tale gruppo è associativo.
La contrario, nel gruppo "divisione di numeri reali" si ha: a : (b : c) è diverso da (a : b) : c, infatti 5 : (6 : 7) = 5,833, mentre (5 : 6) : 7 = 0,119, per cui tale gruppo non è associativo.

Assioma dell'identità
Si dice che un gruppo è dotato dell'elemento "identità", che viene indicato con una "i" maiuscola corsiva (I), se assoggettando un qualsiasi suo elemento dell'insieme all'operazione r con l'elemento "identità" si ottiene come risultato l'elemento stesso.
Questo assioma è noto anche come Assioma dell'esistenza dell'elemento neutro, con il senso di cui sopra.

Ad esempio: nel gruppo "moltiplicazione di numeri reali" l'elemento "identità" è il numero 1, infatti si ha 5 x 1 = 1 x 5 = 5, pertanto il ruolo dell'elemento neutro è svolto dal numero 1.
Al contrario, nel gruppo "somma di numeri reali" l'elemento "identità" non è il numero 1 ma il numero 0, infatti 5 + 0 = 0 + 5 = 5, mentre applicando l'operazione al numero "identità", che prima abbiamo visto essere valido per il gruppo "moltiplicazione di numeri reali", cioè al numero 1 si avrebbe 5 + 1 = 1 + 5 = 6 che è diverso dall'elemento di partenza che era il numero 5.

Richiamo - In aritmetica, si dice che due elementi sono reciproci (sinonimo di inverso) se il loro prodotto fornisce l'elemento "unità". Ad esempio, il numero 3 e il numero 1/3 sono reciproci uno dell'altro. Infatti. 3 x 1/3 = 1/3 x 3 = 3 : 3 = 1.

Assioma dell'inverso
Si dice che un elemento u di un gruppo ha un unico elemento inverso, indicato con "inv.u", quando, assoggettando entrambi all'operazione, si ottiene per risultato l'elemento identità I (come definito nell'assioma precedente). In pratica: u r inv.u = inv.u r u = I.
Resta inteso che l'opposto dell'opposto di un elemento è l'elemento stesso, cioè: inv.inv.u = u.
Questo assioma è noto anche come Assioma dell'esistenza dell'elemento simmetrico, con il senso di cui sopra.

Riepilogo della nomenclatura usata - Gruppo: G - Insieme di elementi: U - Elementi: u - Operazione binaria: r - Elemento identità: I - Elemento inverso di u: inv.u.

Riassumendo
Un gruppo G è un insieme U di elementi u con, al suo interno, una operazione binaria r, che soddisfi gli assiomi dell'associatività, dell'identità e dell'inverso.

Esempi

Osservazione - Se si volessero trascurare alcuni o tutti gli assiomi di cui sopra, il campo di studio si allargherebbe e si entrerebbe nello studio di strutture algebriche diverse e più generali, delle quali quella denominata Magma è quella con minori vincoli.
Analoga situazione è stata riscontrata nell'esame delle trasformazioni geometriche, per cui nel passare dalle isometrie alla proiettività e oltre abbiamo notato come diminuiscano gli invarianti del piano e delle figure che si possono prendere su di esso e, inversamente, come aumentino le azioni che possiamo fare riguardo alle figure e a tutto il piano.
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Le trasformazioni geometriche e il loro impiego

Le trasformazioni geometriche piane illustrate nel post precedente si possono dividere in due gruppi:
1) trasformazioni isometriche, e 2) trasformazioni non isometriche.

Le trasformazioni isometriche

Il gruppo formato da identità, traslazione, rotazione e riflessione è chiamato più propriamente isometrie, in quanto non trasformano le lunghezze dei segmenti tra due punti qualsiasi presi a caso sulla figura: le isometrie comprendono anche altre trasformazioni, o combinazioni di trasformazioni, di grande interesse per l'arte.
L'identità, che a prima vista potrebbe sembrare di scarso interesse dal momento che non opera alcuna trasformazione, ha invece una importanza notevole se considerata come risultato di una combinazione di trasformazioni.

La trasformazione della similitudine (detta anche omotetia) opera un ingrandimento o una riduzione uniforme di tutta la figura (come avviene in una fotocopia ingrandita o ridotta). Queste trasformazioni sono oggetto della geometria elementare propriamente detta e vengono trattate in altri corsi di studio.

Inoltre, traslazione e rotazione vengono anche chiamate movimenti, intendendo quello che avviene comunemente su un tavolo quando si fa slittare un foglio senza sollevarlo (movimento piano), o l'apertura di una porta che ruota intorno alla retta delle cerniere (movimento nello spazio); si dicono anche movimenti rigidi quando si vuole sottolineare che non c'è deformazione della figura.
In geometria, la rotazione è anche sinonimo di simmetria centrale.
Infine, la traslazione è un caso particolare di rotazione che avviene quando il centro di rotazione si trova all'infinito in direzione ortogonale alla direzione di traslazione.

La riflessione è detta anche ribaltamento, proprio perchè, oltre ad essere evidenziabile mediante uno specchio e, quindi, senza sollevare la figura dal piano, la si ottiene anche rovesciando sotto-sopra la figura stessa e, quindi, sollevandola dal piano: per questo ultimo motivo la riflessione potrebbe essere annoverata anche nelle trasformazioni spaziali.
In geometria, la riflessione è anche sinonimo di simmetria assiale.

Esaminando bene quanto esposto, si nota che nel piano vi sono solo due tipi distinti di isometrie: quelle che conservano l'ordine, che sono le rotazioni, e quelle che invertono l'ordine, che sono le riflessioni. Tutte le altre trasformazioni o sono casi particolari di queste due, o sono combinazioni di queste due.
Le trasformazioni non isometriche
Le trasformazioni non isometriche, invece, apportano variazioni non solo alle lunghezze e agli angoli ma, in taluni casi, come nella topologia, possono apportare variazioni talmente accentuate da compromettere il riconoscimento della figura di partenza.
Queste trasformazioni sono oggetto di apposite branche della geometria, per cui si parla di geometria affine, di geometria proiettiva e di geometria topologica o topologia.

Inoltre, dalla fine del 1700 e fino a tutto il 1800 si sono venute precisando le geometrie non euclidee, che apportano nuova linfa nel sapere geometrico e nell'immaginazione artistica.

Dalla figura complessiva si nota come nel passaggio dalla prima trasformazione esposta, che è l'identità, e fino all'ultima, che è la diffusione di punti, si hanno trasformazioni in un numero sempre maggiore di caratteristiche della figura iniziale, a fronte di un sempre minor numero di caratteristiche che si conservano immutate, o invarianti.
Per quanto riguarda la riflessione, poi, occorre precisare che essa non ha una posizione precisa nella gerarchia delle trasformazioni, ma che può essere applicata sia da sola, sia in qualsiasi fase di una combinazione di trasformazioni.

Gli impieghi nelle arti e nella scienzaNelle arti, si impiegano frequentemente le trasformazioni geometriche: nelle arti figurative e nell'architettura la simmetria (sia assiale che centrale) viene impiegata per il disegno di pareti e pavimenti di edifici e di piazze come per lo studio degli ordini architettonici, classici o moderni che siano. Un notevole impiego ne viene fatto nel disegno di planimetrie sia dell'interno di edifici che di nuovi quartieri.
E' da ricordare la magistrale opera grafica e pittorica di Mauritius Cornelius Escher (1898-1972) (vedi nel sito web nella colonna a sinistra: Picture Gallery), che senza una approfondita conoscenza della simmetria spaziale, e un altrettanto profondo amore per la ricerca, non sarebbe stata mai possibile; non è un caso che fosse amico del matematico inglese Harold Coxeter (1907-2003) e che lo frequentasse con assiduità.
Inoltre, occorre citare anche August Ferdinand Moebius (1790-1868) per il famoso Nastro di Moebius, che ha suscitato una infinità di applicazioni nell'arte, specialmente negli ultimi decenni.

Per quanro riguarda le trasformazioni non isometriche occorre osservare come la prospettiva, ad esempio, venga impiegata sistematicamente dai tempi di Filippo Brunelleschi (1377–1446) che, per altro, riprese studi di Al-Kindi (801-866 d.C.) sull'ottica, sia per l'impianto di rappresentazioni pittoriche che per il controllo visivo dello spazio architettonico. Inoltre, applicazioni della prospettiva, come l'anamorfosi, sono state impiegate ad iniziare dal 1500 fino ad oggi dai pittori ed oggi trova impiego anche nel campo della pubblicità cartellonistica, mentre la fotogrammetria ottica ha avuto impiego da quando la fotografia, come mezzo di rappresentazione, è diventata accessibile a molti utenti: oggi, tuttavia, appare soppiantata dai più attuali strumenti informatici che si basano sul cosiddetto "raddrizzamento digitale" dell'immagine fotografica.

Le geometrie non euclidee, inoltre, sono state oggetto di molta attenzione da parte di ingegneri e architetti fin dagli ultimi decenni del 1800 e le prime applicazioni hanno visto due nuove forme, il paraboloide iperbolico, impiegato da Antoni Gaudì (1852-1926) nella Sagrada Familia a Barcellona e l'iperboloide ad una falda impiegato da Vladimir Shùjov (1) (scritto anche Shukhov, vedi biografia, oppure Suchov) (1853-1939) per la costruzione di piloni e tralicci elettrici e di telecomunicazione in Russia. Da allora, di entrambe ne è stata fatta una estesa applicazione sia nell'architettura che nell'arredo.

La topologia, ultima delle geometrie sistematizzate, non sembra ancora avere impieghi usuali nel campo dell'architettura, ma presenta comunque diverse interessanti applicazioni nel campo delle arti figurative.
Tuttavia, sia alla mostra Architettura a Palazzo Ducale di Genova 2004, sia alla Biennale di Architettura 2004 di Venezia sembra proprio essere stato l'impiego della topologia nell'architettura (link 1 e link 2) a suggerire forme tanto diverse dal "parallelepipedo" in auge ormai dall'inizio del movimento moderno, e questo è avvenuto in coincidenza con la presenza sul mercato, da una decina di anni, di programmi informatici che consentono con facilità tali articolazioni geometriche.
A ben vedere però si hanno esempi fin dagli anni '20 e '40 del XX secolo in cui la forma della scatola viene piegata e manipolata liberamente, come hanno fatto, talora, Mendelshon, (1887-1953), Le Corbusier (1887-1965) e Wright (1867-1959), pur non disponendo di computer, segno, questo, che la geometria delle forme architettoniche può essere assolutamente indipendente dallo strumento usato per disegnarle, allora la riga e il compasso, oggi il PC.
Infine, è da ricordare che oggetti topologicamente molto complessi non sono tipici di oggi, ma che l'uomo ha sempre realizzato forme complesse sia dal punto di vista topologico che relativamente alla simmetria piana e spaziale, come certe sculture africane (link 1, link 2) ed il leggio afgano (link 1, link 2).

Occorre anche ricordare che la geometria proiettiva è stata la regina incontrastata nel calcolo delle strutture degli edifici fino all'avvento dei computer e dei programmi software dedicati a questo impiego, pressappoco fino agli anni settanta del secolo scorso: infatti, nel campo della meccanica classica (non relativistica) quanto può calcolarsi mediante i metodi dell'analisi matematica può essere fatto anche con i metodi della geometria proiettiva impiegandola nella statica grafica , quindi, con sola riga e compasso, producendo gli stessi risultati.
Infine la geometria proiettiva è applicata non solo nella statica grafica, ma anche nella ricerca dello stato di tensione interna delle membrature strutturali e può, pertanto, essere considerata del tutto autonoma ed alternativa ai più recenti metodi analitici per la scienza delle costruzioni, che ormai da oltre un secolo, con le espressioni di De Sain Venant (1797-1886), può ritenersi matura e collaudata.
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1 - Vedi anche la rivista Casabella n. 573, novembre 1990.
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Le trasformazioni geometriche nel piano

Riguardo alle trasformazioni geometriche occorre fare due precisazioni prima di trattarle e cioè, detto brevemente, 1) che esiste una differenza tra il pensiero e il disegno di una figura ed è costituita dall'approssimazione grafica per il disegno alla quale fanno da contrappunto il rigore e la correttezza per il pensiero e 2) che nella geometria non interviene il fattore tempo, in quanto caratteristico della scienza fisica.

Introduzione alle trasformazioni
La trasformazione di una figura può essere eseguita variando molte, oppure poche, delle sue caratteristiche: in quest'ultimo caso riconosceremo esattamente la figura di partenza, mentre nel primo caso dovremmo guardarla con molta attenzione per riconoscere che la figura trasformata deriva proprio da quella iniziale.
Le caratteristiche con cui si può descrivere una figura sono, ad esempio, la forma, la grandezza, l'ordine con cui sono disposti i suoi punti più importanti, ecc.. In una trasformazione avremo che alcune caratteristiche della figura presa in esame sono cambiate, mentre altre caratteristiche no: in quest'ultimo caso si dice che quella caratteristica è un invariante rispetto a "quella" trasformazione.
Se, ad esempio, sposto un foglio di carta sul mio tavolo, al termine di questa traslazione l'unica cosa che sarà cambiata è la posizione del foglio, mentre la sua forma e la sua grandezza sono rimaste invariate e, quindi, posso dire che la forma e la grandezza sono caratteristiche invarianti rispetto alla trasformazione mediante traslazione.
Supponiamo, invece, di tagliare quel foglio in 4 porzioni dividendo in due ciascun lato, e di posizionarne una sullo stesso tavolo ad una certa distanza da dove si trovava inizialmente il foglio intero: in questo caso posso dire che oltre alla posizione è cambiata anche la grandezza, mentre non è cambiata la forma. Infatti, se prima era un certo rettangolo, ad esempio di lati cm 20 e 30, ora sarà sempre un rettangolo ma di lati cm 10 e 15, cioè sarebbe come se la figura si fosse rimpiccolita uniformemente.
Se quella porzione di foglio che ho spostato l'avessi anche ruotata allora potrei dire che, oltre alla posizione e alla grandezza, è cambiato anche l'orientamento, in quanto i lati di questa non sono più paralleli a lati corrispondenti della figura iniziale.
E' possibile eseguire anche una combinazione di trasformazioni e, osservando una figura trasformata, non è possibile sapere se il risultato finale è avvenuto con una sola operazione o se è frutto di due o più trasformazioni: quello che ha importanza è la situazione della figura finale in relazione alla figura iniziale, senza alcun riguardo per le eventuali trasformazioni intermedie.

L'argomento viene esemplificato mediante la fotografia della sola faccia anteriore di un telefonino, dunque con un'immagine bidimensionale, detta anche piana.
Se facciamo appartenere la figura iniziale F alla classe A, e vi applichiamo una trasformazione ben definita, allora come risultato avremo una figura finale F' (detta anche figura trasformata F')che consideriamo appartenente alla classe B, ed entrambi le classi apparterranno allo stesso piano.
Viceversa, se considero un punto A' della figura finale F', e se conosco la trasformazione che lo ha prodotto, allora posso sempre risalire al punto iniziale A.
La circostanza per cui posso eseguire trasformazioni in un verso e anche nel verso opposto, ritrovando i punti iniziali, si esprime dicendo che sul piano ho stabilito una corrispondenza biunivoca tra due classi di enti.

La trattazione che segue vuole rispecchiare sinteticamente quanto il matematico tedesco Felix Klein (1849-1925) espose nel 1872 nel Programma di Erlangen (tradotto dal tedesco da Gino Fano, Annali di matematica pura e applicata, (2) (17), 1889-1890, p. 307, e recentemente sul web tradotto da Antonello Sciacchitano). Lo stesso Klein descrisse dieci anni dopo la sua Bottiglia di Klein (vedi anche il breve video).







Secondo Klein, una geometria è lo studio delle proprietà invarianti per effetto di un dato gruppo di trasformazioni.
Le trasformazioni verranno trattate in questo post in modo grafico-intuitivo, mentre il concetto di gruppo verrà illustrato in un post successivo.
Osservazione - Nei testi viene usata quasi sempre la parola "proprietà" che, qui, è sostituita con la parola "caratteristica" che sembra più appropriata.
Le caratteristiche delle figure e le loro trasformazioni nel pianoLe caratteristiche delle figure devono essere considerate rispetto ad una qualsiasi trasformazione che si possa applicare alle figure stesse. Cioè, durante una trasformazione possono avvenire dei cambiamenti in alcune delle caratteristiche, mentre in altre caratteristiche non avremo variazioni: in quest'ultimo caso, come detto sopra, si dice che quella caratteristica è invariante rispetto a quella trasformazione.
Le caratteristiche da considerare sono le seguenti:

1) Posizione: se la figura non cambia posizione, allora la figura iniziale F e la figura finale F' coincidono perfettamente.
La trasformazione è consistita in una identità.

2) Orientazione: se la figura cambia la posizione, ma non l’orientazione, né cambiano le caratteristiche che sono elencate successivamente qui di seguito, allora nella figura trasformata F' la direzione di un segmento preso a caso sarà orientato allo stesso modo che nella figura iniziale F.
La trasformazione è consistita in una traslazione.

3) Lunghezza: si intende che cambiano le due caratteristiche di posizione e orientazione, ma non cambia la lunghezza reciproca tra due punti qualsiasi della figura.
La trasformazione è consistita in una rotazione.
Osservazione - Se il centro di rotazione è un punto improprio del piano, quindi viene definito dalla sua direzione, si ricade in una traslazione che ha per direzione quella ortogonale alla direzione del punto improprio suddetto.

4) Ordine: si intende che la figura può cambiare anche tutte le caratteristiche precedenti, ma l'ordine con cui sono posti i punti su un segmento orientato non cambia.
Su una retta, l'ordine viene considerato crescente da una parte di essa e decrescente dalla parte opposta. Si è soliti attribuire l'ordine crescente su una retta nel senso verso destra.
Su un piano, l'ordine viene messo in relazione a quello dei punti di una circonferenza tracciata su di esso, e se tali punti si succedono in senso orario si dirà che il piano è orientato in senso orario, al contrario si dirà che il piano è orientato in senso antiorario. (Vedi anche Postulati di ordinamento in questo post)
Quando, però, questa caratteristica della figura cambia, cioè nella figura trasformata si ha un ordinamento inverso dei suoi punti rispetto alla figura iniziale, allora la trasformazione è consistita nella riflessione.
Osservazione - Non va confuso l'ordine (o ordinamento) con l'orientazione (o orientamento): il primo si riferisce solo al senso crescente (o decrescente) dei suoi elementi, mentre il secondo si riferisce solo all'angolo di due direzioni (per le rette) o di due giaciture (per i piani).

5) Rapporto tra lunghezze: si intende che la figura può cambiare anche tutte le caratteristiche precedenti, ma la lunghezza del segmento tra due punti qualsiasi della figura varia in modo costante cioè se essa, prima della trasformazione era, poniamo, di 20 cm, allora dopo la trasformazione potrebbe essere, poniamo, di 10 cm, e ciò equivale ad un rapporto pari ad ½, cioè quella misura si è dimezzata, ma anche la misura di tutti gli altri segmenti che posso fissare a piacere sulla figura si sono ridotti con lo stesso rapporto di ½.
Se il rapporto tra lunghezze non è variato, allora vuol dire che nemmeno l’angolo formato tra due segmenti qualsiasi della figura è rimasto invariato, per cui la forma della figura non è cambiata, ma si è solo rimpiccolita, in questo caso della metà in termini di lunghezze.
Infine, non cambiano le caratteristiche elencate successivamente in questo elenco.
La trasformazione è consistita in una similitudine, detta anche omotetia.
Osservazione - Omotetia, dal greco omos che vuol dire “simile” e tìtheo che significa “metto”. Il termine è stato usato per la prima volta dal matematico francese Michael Chasles nel 1827.
6) Parallelismo: si intende che, in genere, sono cambiate le caratteristiche elencate precedentemente in questo elenco, ma non è cambiato il parallelismo tra due segmenti qualsiasi presi sulla figura; se tali segmenti erano paralleli nella figura iniziale, allora nella figura trasformata dovrò ritrovarli paralleli tra loro. Infine, anche in questo caso, non cambiano le caratteristiche elencate successivamente in questo elenco.
La trasformazione è consistita in una affinità.
Particolari tipi di affinità sono costituite dai frattali (per una trattazione elementare della geometria dei frattali vedi il link).

7) Birapporto: anche in questo caso occorre tenere presente che possono cambiare tutte le caratteristiche elencate precedentemente in questo elenco, mentre il birapporto non cambia e, in particolare, poichè il birapporto è basato su rette, le rette si conservano tali. Non cambiano nemmeno le caratteristiche elencate successivamente in questo elenco.
La trasformazione è consistita in una proiettività.
Osservazione - Con questa trasformazione rimaniamo nel campo della Geometria proiettiva, mentre con quelle successive ne usciamo.

8) Continuità: anche in questo caso possono variare tutte le caratteristiche precedenti, o solo alcune. Tuttavia, non avendo più l'allineamento di tre punti, cioè le rette si sono trasformate in linee generiche, la caratteristica del birapporto perde senso. Tuttavia, viene conservata la continuità tra i punti della figura.
La trasformazione avvenuta è come se la figura appartenesse ad un supporto di gomma deformabile a piacere (pur rimanendo nel piano), e con deformazioni tali che non comportassero "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature".
Due spazi topologici così caratterizzati si dicono omeomorfi (dal greco homoios = identica e morphe = forma) e godono delle stesse proprietà topologiche (separabilità, connessione, compattezza, ecc.).
La trasformazione è consistita in un omeomorfismo (nel piano).
Si riportano esempi di omeomorfismi nello spazio (Topologia), ed un video di 7'35", nonché il Leggio Afgano (parte 1 e parte 2), che è una figura topologicamente molto complessa, illustrata con proprietà da Felice Ragazzo.







9) Appartenenza: possono variare tutte o solo alcune delle caratteristiche precedenti, ma non avendo più la continuità tra i punti della figura siamo in presenza di una diffusione di punti che, tuttavia, devono ancora appartenere all'insieme di cui facevano parte inizialmente.
La trasformazione, prendendo ad esempio il gioco del biliardo, è avvenuta come se dall'insieme iniziale di palle raccolte in forma di triangolo si pervenisse, dopo il primo tiro, ad una diffusione del tutto casuale delle palle stesse all'interno del piano di gioco, anche a causa del rimbalzo contro le sponde e tra le stesse palle. Appare evidente che se togliessimo il recinto, in cui le palle sono costrette a muoversi, si avrebbe una diffusione differente che rispecchierebbe in qualche modo la disposizione iniziale all'interno del triangolo.
La trasformazione è consistita in una diffusione di punti (nel piano) (1).
Si riportano esempi di diffusione di punti nel piano (Teoria degli ordini), ed un simpaticissimo video di 3'55" sulle prodezze del biliardo, a scopo ricreativo.







Tabella complessiva delle trasformazioni nel piano.
Osservazione 1 - Con queste due ultime trasformazioni siamo fuori dal campo della Geometria proiettiva. Non facendo parte dei programmi di studio, non verranno ulteriormente approfondite nel seguito.
Sia la Topologia che la Teoria degli ordini sono tipi di geometria con una quantità ancora minore di invarianti rispetto alle precedenti geometrie, come illustrato nella tabella
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Osservazione 2 - La teoria degli ordini è basata sulla teoria degli insiemi e fa uso del concetto di appartenenza di un elemento ad un insieme, concetto che richiama la dualità essere-non essere compreso nell'insieme, senza possibilità di un terzo caso (principio del terzo escluso), nè la possibilità che l'appartenenza possa essere - per così dire - "graduata" come si potrebbe esprimere per un bicchiere d'acqua riempito in parte (come rispondere, infatti, soltanto con un si o con un no, alla domanda: E' pieno?).
Se dell'appartenenza considerassimo, oltre alla possibilità "appartiene" e alla possibilità opposta "non appartiene", anche una terza possibilità del tipo "appartiene in una certa misura" e, dunque, rimuovendo la tassatività dell'appartenenza, allora usciremmo anche dalla teoria degli ordini (e dalla teoria degli insiemi che ne rappresenta la base), per entrare in un campo della matematica più vasto e generale che ha la sua base formale nella Teoria degli insiemi sfuocati e nella Logica sfuocata o Logica Fuzzy, che rappresentano una generalizzazione della logica classica, caratteristica peculiare della nostra cultura da almeno due millenni e mezzo.
Se la geometria, regina delle scienze fino alle soglie del XIX secolo, era nata 4000 anni fa per misurare la terra e per aiutare i naviganti a trovare la rotta voluta, quindi in un mondo abbastanza semplice, queste branche della matematica le si sono allontanate molto, e rispecchiano la crescente articolazione dei fenomeni sociali degli ultimi due secoli e la crescente consapevolezza della complessità dei sistemi neurobiologici degli ultimi decenni.
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Per una impostazione complessiva delle ricerche matematiche e geometriche, secondo la Mathematics Subject Classification, vedi link.
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(1) Cfr. anche Beniamino Segre, La simmetria e la scienza, in Le Scienze n. 14, ottobre 1969.
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