Le trasformazioni geometriche e il loro impiego

Le trasformazioni geometriche piane illustrate nel post precedente si possono dividere in due gruppi:
1) trasformazioni isometriche, e 2) trasformazioni non isometriche.

Le trasformazioni isometriche

Il gruppo formato da identità, traslazione, rotazione e riflessione è chiamato più propriamente isometrie, in quanto non trasformano le lunghezze dei segmenti tra due punti qualsiasi presi a caso sulla figura: le isometrie comprendono anche altre trasformazioni, o combinazioni di trasformazioni, di grande interesse per l'arte.
L'identità, che a prima vista potrebbe sembrare di scarso interesse dal momento che non opera alcuna trasformazione, ha invece una importanza notevole se considerata come risultato di una combinazione di trasformazioni.

La trasformazione della similitudine (detta anche omotetia) opera un ingrandimento o una riduzione uniforme di tutta la figura (come avviene in una fotocopia ingrandita o ridotta). Queste trasformazioni sono oggetto della geometria elementare propriamente detta e vengono trattate in altri corsi di studio.

Inoltre, traslazione e rotazione vengono anche chiamate movimenti, intendendo quello che avviene comunemente su un tavolo quando si fa slittare un foglio senza sollevarlo (movimento piano), o l'apertura di una porta che ruota intorno alla retta delle cerniere (movimento nello spazio); si dicono anche movimenti rigidi quando si vuole sottolineare che non c'è deformazione della figura.
In geometria, la rotazione è anche sinonimo di simmetria centrale.
Infine, la traslazione è un caso particolare di rotazione che avviene quando il centro di rotazione si trova all'infinito in direzione ortogonale alla direzione di traslazione.

La riflessione è detta anche ribaltamento, proprio perchè, oltre ad essere evidenziabile mediante uno specchio e, quindi, senza sollevare la figura dal piano, la si ottiene anche rovesciando sotto-sopra la figura stessa e, quindi, sollevandola dal piano: per questo ultimo motivo la riflessione potrebbe essere annoverata anche nelle trasformazioni spaziali.
In geometria, la riflessione è anche sinonimo di simmetria assiale.

Esaminando bene quanto esposto, si nota che nel piano vi sono solo due tipi distinti di isometrie: quelle che conservano l'ordine, che sono le rotazioni, e quelle che invertono l'ordine, che sono le riflessioni. Tutte le altre trasformazioni o sono casi particolari di queste due, o sono combinazioni di queste due.
Le trasformazioni non isometriche
Le trasformazioni non isometriche, invece, apportano variazioni non solo alle lunghezze e agli angoli ma, in taluni casi, come nella topologia, possono apportare variazioni talmente accentuate da compromettere il riconoscimento della figura di partenza.
Queste trasformazioni sono oggetto di apposite branche della geometria, per cui si parla di geometria affine, di geometria proiettiva e di geometria topologica o topologia.

Inoltre, dalla fine del 1700 e fino a tutto il 1800 si sono venute precisando le geometrie non euclidee, che apportano nuova linfa nel sapere geometrico e nell'immaginazione artistica.

Dalla figura complessiva si nota come nel passaggio dalla prima trasformazione esposta, che è l'identità, e fino all'ultima, che è la diffusione di punti, si hanno trasformazioni in un numero sempre maggiore di caratteristiche della figura iniziale, a fronte di un sempre minor numero di caratteristiche che si conservano immutate, o invarianti.
Per quanto riguarda la riflessione, poi, occorre precisare che essa non ha una posizione precisa nella gerarchia delle trasformazioni, ma che può essere applicata sia da sola, sia in qualsiasi fase di una combinazione di trasformazioni.

Gli impieghi nelle arti e nella scienzaNelle arti, si impiegano frequentemente le trasformazioni geometriche: nelle arti figurative e nell'architettura la simmetria (sia assiale che centrale) viene impiegata per il disegno di pareti e pavimenti di edifici e di piazze come per lo studio degli ordini architettonici, classici o moderni che siano. Un notevole impiego ne viene fatto nel disegno di planimetrie sia dell'interno di edifici che di nuovi quartieri.
E' da ricordare la magistrale opera grafica e pittorica di Mauritius Cornelius Escher (1898-1972) (vedi nel sito web nella colonna a sinistra: Picture Gallery), che senza una approfondita conoscenza della simmetria spaziale, e un altrettanto profondo amore per la ricerca, non sarebbe stata mai possibile; non è un caso che fosse amico del matematico inglese Harold Coxeter (1907-2003) e che lo frequentasse con assiduità.
Inoltre, occorre citare anche August Ferdinand Moebius (1790-1868) per il famoso Nastro di Moebius, che ha suscitato una infinità di applicazioni nell'arte, specialmente negli ultimi decenni.

Per quanro riguarda le trasformazioni non isometriche occorre osservare come la prospettiva, ad esempio, venga impiegata sistematicamente dai tempi di Filippo Brunelleschi (1377–1446) che, per altro, riprese studi di Al-Kindi (801-866 d.C.) sull'ottica, sia per l'impianto di rappresentazioni pittoriche che per il controllo visivo dello spazio architettonico. Inoltre, applicazioni della prospettiva, come l'anamorfosi, sono state impiegate ad iniziare dal 1500 fino ad oggi dai pittori ed oggi trova impiego anche nel campo della pubblicità cartellonistica, mentre la fotogrammetria ottica ha avuto impiego da quando la fotografia, come mezzo di rappresentazione, è diventata accessibile a molti utenti: oggi, tuttavia, appare soppiantata dai più attuali strumenti informatici che si basano sul cosiddetto "raddrizzamento digitale" dell'immagine fotografica.

Le geometrie non euclidee, inoltre, sono state oggetto di molta attenzione da parte di ingegneri e architetti fin dagli ultimi decenni del 1800 e le prime applicazioni hanno visto due nuove forme, il paraboloide iperbolico, impiegato da Antoni Gaudì (1852-1926) nella Sagrada Familia a Barcellona e l'iperboloide ad una falda impiegato da Vladimir Shùjov (1) (scritto anche Shukhov, vedi biografia, oppure Suchov) (1853-1939) per la costruzione di piloni e tralicci elettrici e di telecomunicazione in Russia. Da allora, di entrambe ne è stata fatta una estesa applicazione sia nell'architettura che nell'arredo.

La topologia, ultima delle geometrie sistematizzate, non sembra ancora avere impieghi usuali nel campo dell'architettura, ma presenta comunque diverse interessanti applicazioni nel campo delle arti figurative.
Tuttavia, sia alla mostra Architettura a Palazzo Ducale di Genova 2004, sia alla Biennale di Architettura 2004 di Venezia sembra proprio essere stato l'impiego della topologia nell'architettura (link 1 e link 2) a suggerire forme tanto diverse dal "parallelepipedo" in auge ormai dall'inizio del movimento moderno, e questo è avvenuto in coincidenza con la presenza sul mercato, da una decina di anni, di programmi informatici che consentono con facilità tali articolazioni geometriche.
A ben vedere però si hanno esempi fin dagli anni '20 e '40 del XX secolo in cui la forma della scatola viene piegata e manipolata liberamente, come hanno fatto, talora, Mendelshon, (1887-1953), Le Corbusier (1887-1965) e Wright (1867-1959), pur non disponendo di computer, segno, questo, che la geometria delle forme architettoniche può essere assolutamente indipendente dallo strumento usato per disegnarle, allora la riga e il compasso, oggi il PC.
Infine, è da ricordare che oggetti topologicamente molto complessi non sono tipici di oggi, ma che l'uomo ha sempre realizzato forme complesse sia dal punto di vista topologico che relativamente alla simmetria piana e spaziale, come certe sculture africane (link 1, link 2) ed il leggio afgano (link 1, link 2).

Occorre anche ricordare che la geometria proiettiva è stata la regina incontrastata nel calcolo delle strutture degli edifici fino all'avvento dei computer e dei programmi software dedicati a questo impiego, pressappoco fino agli anni settanta del secolo scorso: infatti, nel campo della meccanica classica (non relativistica) quanto può calcolarsi mediante i metodi dell'analisi matematica può essere fatto anche con i metodi della geometria proiettiva impiegandola nella statica grafica , quindi, con sola riga e compasso, producendo gli stessi risultati.
Infine la geometria proiettiva è applicata non solo nella statica grafica, ma anche nella ricerca dello stato di tensione interna delle membrature strutturali e può, pertanto, essere considerata del tutto autonoma ed alternativa ai più recenti metodi analitici per la scienza delle costruzioni, che ormai da oltre un secolo, con le espressioni di De Sain Venant (1797-1886), può ritenersi matura e collaudata.
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1 - Vedi anche la rivista Casabella n. 573, novembre 1990.
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