Un gruppo G è un insieme U di elementi u con, al suo interno, una operazione binaria r, che soddisfi gli assiomi dell'associatività, dell'identità e dell'inverso.
Se il gruppo gode anche della proprietà commutativa si dice che è un gruppo abeliano.
Se l'operazione binaria tra due elementi fornisce un terzo elemento ancora appartenente al gruppo, tale gruppo si dice gruppo chiuso; in caso contrario si dice gruppo aperto, oppure sottogruppo di un gruppo più ampio.
Osservazione - Nell'esporre la teoria dei gruppi al post precedente ci siamo serviti di esempi applicati al campo dell'aritmetica.
Ora prenderemo esempi dal campo delle trasformazioni geometriche nel piano per verificare tale teoria: in particolare, ci limiteremo alle isometrie e, anziché usare la suggestiva immagine di un cellulare, come fatto in precedenza, useremo un semplice punto, senz'altro più astratto, ma anche più idoneo a mettere a fuoco i problemi, nella certezza che ciò che accade ad un punto accade anche a tutti gli altri punti del piano.
Consideriamo la "traslazione nel piano" e verifichiamo se è un gruppo
1) L'insieme U è costituito dal piano alfa e gli elementi u sono i punti P di esso;
2) L'operazione binaria r è costituita da "traslare di una certa lunghezza un qualsiasi punto P lungo una retta che ha una certa direzione", in modo che dopo la prima traslazione, che indicheremo con t', si trovi nella posizione P', e dopo una seconda traslazione, che indicheremo con t", si trovi nella posizione P".
3) Verifichiamo l'assioma dell'associatività. In simboli: P r [P' r P"] = [P r P'] r P".Applicando la trasformazione t' al punto P, otterrò il punto P' dal quale, applicando la trasformazione t", otterrò il punto P". Se volessi tornare al punto di partenza P sarei obbligato ad eseguire una terza trasformazione -t'" (considerare i versi di percorrenza della figura). Esaminiamo le operazioni eseguite: t' + t" = t'".
Ora, esaminiamo se due diverse associazioni producono lo stesso risultato, cioè se: t' + [t" + t'"] è equivalente a [t' + t"] + t'".
Con la prima associazione, partendo da P e applicando t' sono arrivato a P', poi applicando t" + [-t'"] e, quindi, passando per P" sono tornato a P.
Con la seconda associazione, partendo da P e applicando [t' + t"] sono arrivato a P", poi applicando -t'" sono tornato a P.
Si può, pertanto, concludere che le due associazioni producono lo stesso risultato (facendo tornare in entrambi i casi, dopo le trasformazioni, il punto P nella posizione originaria) e quindi che la proprietà associativa è verificata.
4) Verifichiamo l'assioma dell'identità. In simboli: P r I = P.
Se applichiamo al punto P l'operazione r costituita da "traslazione t' di lunghezza =0" possiamo constatare che il punto P, poichè non subisce spostamenti, rimane esattamente dov'è e che, quindi, l'elemento identità esiste ed è rappresentato da una "traslazione di lunghezza =0", infatti P r 0 = P.
5) Verifichiamo l'assioma dell'inverso. In simboli: t r inv.t = inv.t r t = I.
Se mediante la traslazione t' applicata al punto P siamo giunti al punto P', allora l'operazione inversa, inv.t', è quella che, venendo applicata al punto P', consente di ritornare al punto iniziale P.
Nella trasformazione "traslare di una lunghezza t un qualsiasi punto P lungo una retta che ha una certa direzione" (come definita all'inizio del paragrafo) possiamo constatare che esiste la possibilità di tornare indietro nel punto di partenza e che, quindi, esiste l'elemento inverso ed è rappresentato da "traslare di una lunghezza -t' il punto P' lungo la stessa retta", e lo indichiamo con inv.t'. Questa operazione conferma che l'elemento identità I esiste, cioè il punto P di partenza.
6) Conclusioni temporanee. Avendo verificato che la "traslazione nel piano" soddisfa gli assiomi dell'associatività, dell'identità e dell'inverso possiamo affermare che è un gruppo.
7) Esaminiamo, ora, se tale gruppo è anche commutativo. In simboli: t' + t" = t" + t'.
Poiché scambiando l'ordine delle operazioni si ha il medesimo risultato, la traslazione è un gruppo commutativo.
8) Infine, esaminiamo se il gruppo è chiuso. Se P e P' appartengono ad alfa, allora anche P" deve appartenere ad alfa. Non c'è dubbio che la traslazione è un gruppo chiuso.
9) Conclusioni finali. La trasformazione "traslazione nel piano" è un gruppo abeliano chiuso.
Consideriamo la "rotazione nel piano" e verifichiamo se è un gruppo.
1) L'insieme U è costituito, come per la traslazione, dal piano alfa e gli elementi u sono i punti P di esso.
2) L'operazione binaria r è costituita da "ruotare di un certo angolo un qualsiasi punto P intorno ad un centro C", in modo che dopo la prima rotazione, che indicheremo con t', si trovi nella posizione P', e dopo una seconda rotazione, che indicheremo con t", si trovi nella posizione P".
3) Verifichiamo l'assioma dell'associatività. In simboli: P r [P' r P"] = [P r P'] r P".Applicando la trasformazione t' al punto P, otterrò il punto P' dal quale, applicando la trasformazione t", otterrò il punto P". Se volessi tornare al punto di partenza P sarei obbligato ad eseguire la trasformazione -t'". Considerando i versi di percorrenza, esaminiamo le operazioni eseguite: t' + t" = t'".
Ora, esaminiamo se due diverse associazioni producono lo stesso risultato, cioè se: t' + [t" + t'"] è equivalente a [t' + t"] + t'".
Con la prima associazione, partendo da P e applicando t' sono arrivato a P', poi applicando t" + [- t'"] e, quindi, passando per P" sono tornato a P.
Con la seconda associazione, partendo da P e applicando [t' + t"] sono arrivato a P", poi applicando -t'" sono tornato a P.
Si può, pertanto, concludere che le due associazioni producono lo stesso risultato (facendo tornare in entrambi i casi, dopo le trasformazioni, il punto P nella posizione originaria) e quindi che la proprietà associativa è verificata.
4) Verifichiamo l'assioma dell'identità. In simboli: P r I = P.
Se applichiamo al punto P l'operazione r costituita da "ruotare di un angolo =0" possiamo constatare che il punto P, poichè non subisce movimenti, rimane esattamente d0v'è e che, quindi, l'elemento identità esiste ed è rappresentato da una "rotazione di angolo =0", infatti P r 0 = P.
5) Verifichiamo l'assioma dell'inverso. In simboli: t r inv.t = inv.t r t = I.
Se mediante la rotazione t' applicata al punto P siamo giunti al punto P', allora l'operazione inversa, inv.t', è quella che, venendo applicata al punto P', consente di ritornare al punto iniziale P.
Nella trasformazione "ruotare di un angolo t' un qualsiasi punto P intorno al centro C" possiamo constatare che esiste la possibilità di tornare indietro e che, quindi, esiste l'elemento inverso ed è rappresentato da "ruotare di un angolo -t' il punto P' intorno allo stesso centro", e lo indichiamo con inv.t'. Questa operazione fornisce il punto P di partenza, cioè l'identità I.
6) Conclusioni temporanee. Avendo verificato che la "traslazione nel piano" soddisfa gli assiomi dell'associatività, dell'identità e dell'inverso possiamo affermare che è un gruppo.
7) Esaminiamo, ora, se tale gruppo è anche commutativo. In simboli: t' + t" = t" + t'.
Poiché scambiando l'ordine delle operazioni si ha il medesimo risultato, la rotazione è un gruppo commutativo.
8) Infine, esaminiamo se il gruppo è chiuso. Se P e P' appartengono ad alfa, allora anche P" deve appartenere ad alfa. Non c'è dubbio che la traslazione è un gruppo chiuso.
9) Conclusioni finali. La trasformazione "traslazione nel piano" è un gruppo abeliano chiuso.
Si potrebbero esaminare altri gruppi, come ad esempio la riflessione nel piano, la rototraslazione o due rotazioni ciascuna con un diverso centro, con il medesimo metodo e aiutandoci con una figura.
In generale è possibile che il gruppo non sia commutativo, oppure che il risultato della trasformazione, in alcune situazioni, non appartenza al gruppo: in quest'ultimo caso, trattandosi di un gruppo aperto, si dirà che esso è un sottogruppo di un gruppo più ampio.
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Pro memoria
March p.56
vedi anche Paolo Bonavoglia
per le simmetrie Corrado Brogi
gruppi di trasformazioni Grossman
vedi anche tassellatura in wiki
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