Le proiezioni centrali 4: condizioni di parallelismo


IL PARALLELISMO NEI CASI DI RETTE E PIANI GENERICI
La condizione generale di parallelismo nella proiezione centrale si esprime dicendo:
Due enti geometrici sono paralleli se uno di essi ha la fuga su quella dell'altro.
Si può parlare di parallelismo a) tra due rette, b) tra due piani e c) tra una retta e un piano. Esaminiamo i tre casi:

a) se le due rette r ed s sono parallele tra loro allora avranno una stessa immagine, R’∞ ≡ S’ , dei loro punti impropri, Red  S’∞ . 
b) se i due piani a e b  sono paralleli tra loro (in analogia con il caso delle rette) allora avranno la stessa immagine, a’∞ ≡ b’∞ , delle loro rette improprie, a∞  e  b;
c) se la retta a è parallela al pianb  allora l'immagine A’∞ del punto improprio, A∞ , della retta a sta sull'immagine a’∞ della retta impropria  a del piano a .
Inoltre, rette ortogonali al quadro p  avranno l'immagine del punto improprio coincidente con il punto C'  di incontro della perpendicolare per C con il quadro. 

Questo caso particolare di parallelismo è stato usato dai padri fondatori della prospettiva centrale e, nel Nord Europa, era chiamato come prospettiva degli italiani. Ghiberti, Brunelleschi, Leon Battista Alberti e Piero della Francesca ne hanno fatto uso non solo in tante opere pittoriche e scultoree, ma anche in architetture se si pensi che le piante di tanti edifici pubblici, soprattutto le chiese, venivano pensati come prospettiva centrale, e ciò a conferma di fattori religiosi presenti da oltre un millennio nella cultura cristiana relativamente al valore simbolico dell'asse di percorrenza, dalla porta d'ingresso fino all'altare, come un lungo cammino dove l'uomo peccatore si porta al cospetto del Dio, posto nel punto di concorso della prospettiva centrale (punto principale prospettico, in questi disegni indicato con C').

IL PARALLELISMO NEI CASI DI RETTE E PIANI IN POSIZIONI PARTICOLARI
Rette parallele al quadro  avranno le immagini tra loro parallele, mentre piani paralleli al quadro p, non avendo elementi rappresentativi propri (perché si trovano all'infinito), possono essere rappresentati solo mediante le rette che ne delimitano una parte (ad es.: un quadrato o un rettangolo); queste rette che ne delimitano una parte, inoltre, dovranno essere rappresentate ciascuna mediante due punti e, ovviamente ciascuno di essi deve essere rappresentato mediante una retta non parallela al quadro.

Le proiezioni centrali 3: condizioni di appartenenza

La condizione di appartenenza nella proiezione centrale si esprime dicendo che:
due enti geometrici si appartengono se si appartengono i rispettivi elementi omonimi rappresentativi.
Sviluppiamo questo concetto riferendoci alle ultime due figure del post precedente, le figure n. 3 e n. 4:
a) una retta r appartiene ad un piano se i suoi elementi rappresentativi stanno su quelli omonimi del piano, ovvero se Tr appartiene a ta e F'r appartiene a f'a
b) un piano a  passa per una retta r se ... vale l'inverso di quanto detto in a); 
c) un punto P appartiene ad una retta r se la sua proiezione P' appartiene alla proiezione r' della retta r;
d) un punto P appartiene ad un piano a  se il punto P sta su una retta che appartiene al piano a . La retta, in questo caso, rende possibile la verifica se il punto P sta sul piano a, in quanto il punto P ha come elemento rappresentativo una proiezione, P', mentre il piano ha come elementi rappresentativi due rette, ta e f'a, che sono di genere diverso da quello dell'immagine del punto.

Nella figura, è evidente che la pianta del piede della simpatica signorina non sta su (= appartiene) la superficie della Torre di Pisa. Ma se non sapessimo, per esperienza diretta, quanto è grande quella torre allora potremmo pure credere all'effetto voluto dal simpatico fotografo (da questo sito web).